Hyperbel er i matematikk en geometrisk kurve. En hyperbel består av to adskilte deler, med luft mellom delene. Hyperbel er en av de kurvene som med et fellesord kalles kjeglesnitt. De to andre kjeglesnittene er ellipse og parabel.
hyperbel
Når avstanden mellom brennpunktene (de røde prikkene) øker, endrer hyperbelen form og vinkelen mellom asymptotene minker.
Beskrivelse
En hyperbel består av alle punkter der forskjellen i avstand til to faste punkter er konstant. En hyperbel kan beskrives som en plan kurve som er slik at forskjellen mellom avstandene fra alle punkter på kurven til to faste punkter utenfor kurven er konstant. Disse to punktene utenfor kurven kalles brennpunkter.
Bruk
Hyperbler brukes blant annet i navigasjon og i noen optiske og akustiske systemer. Hyperbolske baner forekommer også i astronomi og romfart.
Hyperbelbaner
Tegning som viser en komets bane rundt Solen. Banen kan beskrives matematisk som en hyperbel.
Hyperbelbaner brukes i astronomi og romfart til å beskrive baner til for eksempel satellitter og asteroider som passerer stjerner eller planeter.
En satellitt som er bundet til en planet av tyngdekraften, beveger seg vanligvis rundt planeten i en ellipsebane. Hvis farten blir høy nok, vil banen i stedet få form som en hyperbel. Satellitten vil da forlate planeten uten å vende tilbake.
Hyperbelnavigasjon
Hyperbelnavigasjon. Hyperblene (blå) er linjer med konstant forskjell i avstandene til to senderstasjoner. Denne avstandsdifferansen tilsvarer tidsforskjellen (faseforskjellen) mellom signalene fra disse stasjonene.
Hyperbelnavigasjon bruker radiosignaler fra to eller flere sendere til å bestemme en posisjon.
Forskjellen i ankomsttid til signaler fra to ulike radiosendere definerer en hyperbel. Ved å kombinere to hyperbler kan mottakerens posisjon bestemmes i skjæringspunktet mellom hyperblene.
Matematiske egenskaper
Hyperbel med brennpunkter (røde) og toppunkter (grønne). For alle punktene på hyperbelen er forskjellen mellom avstandene til de to brennpunktene den samme: \[∣r_1 - r_2∣ = 2a\]
Kjeglesnitt
Av
OpenStax.
Lisens:
Symmetriakser, toppunkter og sentrum.
Hyperbelen har to symmetriakser. Den ene går gjennom brennpunktene og skjærer hyperbelen i to punkter som kalles toppunktene. Den andre aksen står vinkelrett på den første midt mellom toppunktene, i hyperbelens sentrum.
Den matematiske ligningen for en hyperbel med sentrum i koordinatsystemets origo er
\[\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1\]
Grafens toppunkter ligger da i \( (x,y) = (\pm a,0)\). Avstanden mellom de to toppunktene er derfor \(2a\).
Brennpunkter
Brennpunktene ligger på symmetriaksen gjennom toppunktene. Avstanden fra sentrum til hvert brennpunkt er
\[c = \sqrt{a^2 + b^2}.\]
Asymptoter
Hyperbelen består av to atskilte grener. Når x blir større, nærmer disse grenene seg to rette linjer gjennom hyperbelens sentrum. Disse linjene kalles asymptoter. Ligningen for asymptotene er
\[y=\pm\frac{b}{a}x\]
Eksentrisitet
Hyperbelen er et kjeglesnitt med eksentrisitet større enn 1. Eksentrisiteten e er lik forholdet mellom brennpunktenes avstand 2c og toppunktenes avstand 2a, det vil si \(e=\frac{c}{a}\).
Eksentrisiteten bestemmer vinkelen mellom asymptotene. For en likesidet hyperbel er \(a = b\), og da står asymptotene vinkelrett på hverandre.
De andre kjeglesnittene har mindre eksentrisitet. For en ellipse er eksentrisiteten mindre enn 1, og for en parabel er den lik 1. En sirkel har eksentrisitet lik 0.
Les mer i Store norske leksikon
Kommentarer
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.