Диференційовна функція

Функція однієї чи кількох дійсних змінних називається диференційовною в точці, якщо в деякому околі цієї точки вона в певному сенсі досить добре наближається деякою лінійною функцією (відображенням). Дане лінійне відображення називається диференціалом функції в цій точці.

Якщо функція є диференційовною в кожній точці деякої множини, то вона називається диференційовною на цій множині.

У випадку функцій однієї змінної умова диференційовності еквівалентна умові існування похідної.

Функції однієї змінної

Нехай функція $y = f (x)$ визначена в деякому околі точки $x_{0}$ і нехай $Δ x = x - x_{0}$ . Функція $f$ називається диференційовною в точці $x_{0}$ (англ. differentiable), якщо приріст $Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})$ можна представити у вигляді:

Δ y = A Δ x + α (Δ x)

.

де:

A

— стала. При фіксованій

x_{0}

A не залежить від

Δ x

; але коли відбувається зміна

x_{0}

, A змінюється також,

α (Δ x) = o (Δ x)

при

x \to 0

.

Лінійна функція $A Δ x$ (від $Δ x$ ) називається диференціалом функції в точці $x_{0}$ і позначається $d f (x_{0})$ , або, коротше $d y$ .

Таким чином:

Δ y = d y + o (Δ x)

при

Δ x \to 0

,

d y = A Δ x

.

Властивості

Для того, аби функція $f$ була диференційовна в деякій точці $x_{0}$ , необхідно і достатньо щоб вона мала похідну в цій точці, при чому, в цьому випадку:

d y = f^{'} (x_{0}) d x

.

Якщо функція диференційовна в деякій точці, то вона також є неперервною в цій точці.

Функції багатьох змінних

Відображення $f : M \subset ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ називається диференційовним в точці $x_{0}$ якщо існує лінійне відображення $A : ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ , що залежить від точки $x_{0}$ , таке що

$f (x) = f (x_{0}) + A (x - x_{0}) + o (‖ x - x_{0} ‖), x \to x_{0},$

або

lim_{x \to x_{0}} \frac{‖ f (x) - f (x_{0}) - A (x - x_{0}) ‖}{‖ x - x_{0} ‖} = 0

.

Лінійне відображення $A : ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ називається диференціалом відображення $f (x)$ в точці $x_{0}$ .

Якщо відображення $f : M \subset ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ задано за допомогою функцій

f_{i} : M \subset ℝ^{n} \to ℝ, i = 1, \dots, m,

то матриця диференціала $A$ — це матриця Якобі, елементи якої рівні частковим похідним $𝐉_{i j} = \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}} .$

Зв'язок між диференційовністю і частковими похідними

На відміну від функцій однієї змінної де диференційовність еквівалентна існуванню похідної, у випадку багатьох змінних залежність з частковими похідними трохи складніша. Справедливими є наступні твердження.

Якщо функція диференційовна в точці, то всі її часткові похідні і більш загально похідні за напрямком існують в цій точці.
Зворотнє твердження невірне. Прикладом може бути функція

f (x, y) = {\begin{matrix} y^{3} / (x^{2} + y^{2}) & if (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & if (x, y) = (0, 0) \end{matrix}

для якої в точці (0, 0) існують похідні за всіма напрямками, зокрема і часткові похідні, але в цій точці функція не є диференційовною.

Якщо всі часткові похідні в точці існують і додатково є в ній неперервними то функція є диференційовною.
Умова неперервності часткових похідних не є необхідною для диференційовності. Наприклад у функції нижче обидві часткові похідні не є неперервні в точці (0, 0) але вона є диференційовною в цій точці