IMPA - O Instituto de Matemática Pura e Aplicada

Inspirados na metodologia de desacoplamento progressivo de ligações para otimização e desigualdades variacionais, propomos um algoritmo para resolver desigualdades quase-variacionais como uma sequência de desigualdades variacionais. Demonstramos que nosso método converge localmente sob certas condições de regularidade e globalmente quando essas condições se mantêm em todo o domínio. Além disso, sob outro tipo de suposições, também se estabelece a convergência global com taxa linear para a classe de desigualdades quase-variacionais com conjunto móvel. Demonstrou-se um desempenho computacional vantajoso para problemas de equilíbrio walrasiano em grande escala, formulados como equilíbrios de Nash generalizados, bem como para alguns outros casos encontrados na literatura relacionada. Trabalho em parceria com Claudia Sagastizábal e Mikhail Solodov.

Em seu trabalho inovador de 2002, Perelman introduziu duas grandezas monotônicas fundamentais: o volume reduzido e a entropia. Embora o volume reduzido tenha sido motivado pela comparação de volumes de Bishop-Gromov aplicada a um espaço $N$ adequadamente construído, que se torna Ricci-plano à medida que $N\rightarrow \infty$, Perelman não deu uma explicação correspondente para a origem da entropia. Nesta palestra, vou mostrar que a entropia de Perelman surge como o limite do volume monotônico de Colding para funções harmônicas em variedades Ricci-planas, quando aplicado de forma adequada ao espaço $N$ de Perelman. Também vou mencionar como a construção dessas grandezas, na verdade, segue um esquema mais geral aplicável a outras equações parabólicas não lineares (e até mesmo não locais).

Os fundadores da mecânica quântica (Born, Heisenberg, Dirac e Jordan) propuseram uma interpretação do espectro como uma versão quantizada das formas normais da mecânica clássica, daí o nome “mecânica quântica”. A inversa dessa forma normal, chamada incorretamente de “forma normal quântica de Birkhoff”, define uma função que é um análogo quântico das integrais de período. Mostramos que, assim como no caso clássico, essas equações satisfazem equações diferenciais lineares comuns cujo grau é limitado pelo grau da homologia, tal como na teoria de Picard-Fuchs comum. Cálculos para o oscilador cúbico padrão mostram que os coeficientes da expansão do período quântico são inteiros, sugerindo um novo tipo de quantização da teoria clássica de Gromov-Witten de $(K_{\mathbb P^2})$.

Matteo Moriconi (VFXRio/VISGRAF) e Luiz Velho (IMPA/VISGRAF) apresentam os avanços recentes no MMSW (Multicasting Multimodal Story Worlds), à medida que ele evolui da multimodalidade para a transmodalidade e os Modelos de Mundo. O “Story World” se torna um estado de mundo compartilhado e atualizável, no qual gêmeos digitais e sistemas robóticos permitem que uma entidade sintética aja com consequências observáveis e verificáveis no espaço. Nos experimentos, a entidade Celestia Borealis age por meio de um braço robótico Franka Panda. No Aurora Circuit, um vocabulário motor limitado é organizado em uma sequência de movimentos, que recebe um nome e, em seguida, é redesenhada por meio de desenho e som. A palestra apresenta a arquitetura técnica e questiona como o significado, a percepção e a ação se reorganizam quando uma entidade computacional opera por meio de corpos simulados ou robóticos.

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In this talk we analyze the d-dimensional Schrödinger operator in the continuum $-\frac{1}{2}\Delta + \lambda_N^2V$ discretized on a mesh with spacing 1/N, where $\lambda_N=N^{1-\gamma}$. We first prove, that for $\gamma\in (-1,1)$, all eigenvalues of the discrete operator converge to those of the continuum as $\lambda_N\to\infty$. This recovers the semiclassical approximation of the continuum operator established by B. Simon (Ann. of Math., 1985). Subsequently, we prove a large deviation principle induced by the ground-state eigenvector. For $\gamma \in (0,1)$, the rate function is shown to coincide with the usual Agmon metric of the continuum; for $\gamma=0$, it is given by an Agmon--Finsler metric; and for $\gamma\in(-1,0)$, it is given by a flat metric. This analysis therefore reveals a finer structure within the semiclassical regime $\gamma\in(-1,1)$ at the level of ground-state asymptotics, which is not reflected in the eigenvalue asymptotics, and extends related asymptotic results in the current literature, previously known only for $\gamma=0$. This talk is based two recent joint works with  M. Keller (Uni Potsdam) and L. Pettinari (Uni Trento).

Scientific Machine Learning is an emerging field with significant impact on methods for solving problems in science and engineering, particularly for large-scale coupled fluid-flow and transport problems. Numerical simulations for these problems can be costly, making such approaches valuable for understanding and improving the efficiency of state quantification and prediction. This talk will review recent advances in scientific machine learning, including dynamic mode decomposition, manifold learning, graph neural networks, and neural operators (Fourier Neural Operators, DeepOnet, and hybrid schemes), as applied to coupled fluid-flow and transport problems. These problems are of interest in sustainable resource exploration, geophysics, and various industrial applications. The talk will show how data-driven information can improve the efficiency of numerical simulation software, explore parametric manifolds for unseen scenarios, and reconstruct high-dimensional simulations using lower-dimensional structures in feasible time.