Tensor

 Nota: Para objetos algébricos que generalizam os conceitos de escalar e vetor, veja famílias continuamente variáveis de tensores. Para campo vetorial, veja e. Para campo tensorial, veja outros usos.

O tensor de tensões de Cauchy de segunda ordem $\mathbf {T}$ descreve a tensão experimentada por um material em um determinado ponto. Para qualquer vetor unitário $\mathbf {v}$, o produto $\mathbf {T} \cdot \mathbf {v}$ é um vetor, denotado por $\mathbf {T} (\mathbf {v} )$, que quantifica a força por unidade de área ao longo do plano perpendicular a $\mathbf {v}$. Esta imagem mostra, para as faces de um cubo perpendiculares a $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$, os correspondentes vetores de tensão $\mathbf {T} (\mathbf {e} _{1}),\mathbf {T} (\mathbf {e} _{2}),\mathbf {T} (\mathbf {e} _{3})$ ao longo dessas faces. Como o tensor de tensões recebe um vetor como entrada e produz um vetor como saída, trata-se de um tensor de segunda ordem.

Na matemática, um tensor é um objeto algébrico que descreve uma relação multilinear entre conjuntos de objetos algébricos associados a um espaço vetorial. Os tensores podem realizar mapeamentos entre diferentes entidades, tais como vetores, escalares e até mesmo outros tensores. Existem muitos tipos de tensores, incluindo escalares e vetores (que são os tensores mais simples), vetores duais (covetores), aplicações multilineares entre espaços vetoriais e certas operações como o produto escalar. Os tensores são definidos de forma independente de qualquer base, embora sejam frequentemente referidos por suas componentes em uma base associada a um sistema de coordenadas particular; essas componentes formam um arranjo, que pode ser concebido como uma matriz multidimensional.

Os tensores tornaram-se fundamentais na física, pois fornecem uma estrutura matemática concisa para formular e resolver problemas físicos em áreas como a mecânica (tensão, elasticidade, mecânica quântica, mecânica dos fluidos, momento de inércia, etc.), a eletrodinâmica clássica (tensor eletromagnético, tensor de Maxwell, permissividade, suscetibilidade magnética, etc.) e a relatividade geral (tensor de energia-momento, tensor de curvatura, etc.). Nas aplicações práticas, é comum estudar situações em que um tensor diferente atua em cada ponto de um corpo. Por exemplo, a tensão mecânica no interior de um objeto pode variar de um local para outro. Uma família de tensores que varia através do espaço dessa maneira constitui um campo tensorial. Em certas áreas, os campos tensoriais são tão onipresentes que são frequentemente chamados simplesmente de "tensores".

Tullio Levi-Civita e Gregorio Ricci-Curbastro popularizaram os tensores em 1900 — dando continuidade aos trabalhos anteriores de Bernhard Riemann, Elwin Bruno Christoffel e outros — como parte do cálculo diferencial absoluto. O conceito possibilitou uma formulação alternativa da geometria diferencial intrínseca de uma variedade na forma do tensor de curvatura de Riemann.

Definição

Embora aparentemente distintas, as várias abordagens para a definição de tensores descrevem o mesmo conceito geométrico utilizando linguagens diferentes e em múltiplos níveis de abstração.

Como arranjos multidimensionais

Comparação entre as cinco primeiras ordens de tensores.

Um tensor pode ser representado como um arranjo (potencialmente multidimensional). Assim como um vetor em um espaço $n$-dimensional é representado por um arranjo unidimensional com $n$ componentes em relação a uma dada base, qualquer tensor em relação a uma base é representado por um arranjo multidimensional. Por exemplo, um operador linear é representado em uma base como um arranjo quadrado bidimensional $n\times n$. Os números no arranjo multidimensional são denominados componentes ou elementos do tensor. Eles são indicados por índices que informam sua posição no arranjo, como subscritos e sobrescritos, acompanhando o nome simbólico do tensor. Por exemplo, as componentes de um tensor de ordem $2$, $T$, poderiam ser denotadas por $T_{ij}$, onde $i$ e $j$ são índices que variam de $1$ a $n$, ou também por $T_{j}^{i}$. A representação de um índice como sobrescrito ou subscrito depende das propriedades de transformação do tensor, descritas abaixo. Assim, embora $T_{ij}$ e $T_{j}^{i}$ possam ambos ser expressos como matrizes $n\times n$ e estejam numericamente relacionados pela alteração de índices, a diferença em suas leis de transformação indica que seria incorreto somá-los diretamente.

O número total de índices ($m$) exigido para identificar cada componente de forma unívoca é igual à dimensão ou ao número de vias do arranjo, razão pela qual um tensor é por vezes chamado de arranjo $m$-dimensional ou arranjo de $m$ vias. O número total de índices é igualmente denominado ordem, grau ou posto de um tensor, muito embora o termo "posto" possua geralmente outro significado no contexto de matrizes e tensores.

Assim como as componentes de um vetor se alteram quando se muda a base do espaço vetorial, as componentes de um tensor também mudam sob tal transformação. Cada tipo de tensor é dotado de uma lei de transformação que detalha como suas componentes respondem a uma mudança de base. As componentes de um vetor podem responder de duas maneiras distintas a uma mudança de base (ver covariância e contravariância de vetores), em que os novos vetores da base $\mathbf {\hat {e}} _{i}$ são expressos em termos dos vetores da base antiga $\mathbf {e} _{j}$ como:

$\mathbf {\hat {e}} _{i}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}=\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}.$

Aqui, $R_{i}^{j}$ são as entradas da matriz de mudança de base e, na expressão mais à direita, o sinal de somatório foi omitido: trata-se da convenção de somatório de Einstein, utilizada ao longo deste artigo. As componentes $v^{i}$ de um vetor coluna $\mathbf {v}$ transformam-se com a inversa da matriz $R$:

${\hat {v}}^{i}=\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}v^{j},$

onde o acento circunflexo denota as componentes na nova base. Essa relação é chamada de lei de transformação contravariante, porque as componentes do vetor transformam-se pela inversa da mudança de base. Em contraste, as componentes $w_{i}$ de um covetor (ou vetor linha), $\mathbf {w}$, transformam-se com a própria matriz $R$:

${\hat {w}}_{i}=w_{j}R_{i}^{j}.$

Essa relação é chamada de lei de transformação covariante, porque as componentes do covetor transformam-se pela mesma matriz da mudança de base. As componentes de um tensor mais geral transformam-se por uma combinação de transformações covariantes e contravariantes, com uma regra de transformação para cada índice. Se a matriz de transformação de um índice for a matriz inversa da transformação de base, então o índice é dito contravariante e é convencionalmente denotado por um índice superior (sobrescrito). Se a matriz de transformação de um índice for a própria transformação de base, então o índice é dito covariante e é denotado por um índice inferior (subscrito).

Como exemplo simples, a matriz de um operador linear em relação a uma base é um arranjo retangular $T$ que se transforma sob uma matriz de mudança de base $R=\left(R_{i}^{j}\right)$ por ${\hat {T}}=R^{-1}TR$. Para as entradas individuais da matriz, essa lei de transformação tem a forma ${\hat {T}}_{j'}^{i'}=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}$, de modo que o tensor correspondente à matriz de um operador linear possui um índice covariante e um contravariante: é do tipo (1,1).

Combinações de componentes covariantes e contravariantes com o mesmo índice permitem expressar invariantes geométricos. Por exemplo, o fato de um vetor ser o mesmo objeto geométrico em diferentes sistemas de coordenadas pode ser expresso pelas seguintes equações, utilizando as fórmulas definidas acima:

$\mathbf {v} ={\hat {v}}^{i}\,\mathbf {\hat {e}} _{i}=\left(\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}{v}^{j}\right)\left(\mathbf {e} _{k}R_{i}^{k}\right)=\left(\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}R_{i}^{k}\right){v}^{j}\mathbf {e} _{k}=\delta _{j}^{k}{v}^{j}\mathbf {e} _{k}={v}^{k}\,\mathbf {e} _{k}={v}^{i}\,\mathbf {e} _{i},$

onde $\delta _{j}^{k}$ é o delta de Kronecker, que atua de forma similar à matriz identidade e tem o efeito de renomear índices ($j$ em $k$ neste exemplo). Isso demonstra várias características da notação de componentes: a capacidade de reorganizar termos à vontade (comutatividade), a necessidade de usar índices distintos ao trabalhar com múltiplos objetos em uma mesma expressão, a possibilidade de renomear índices e a maneira pela qual tensores contravariantes e covariantes se combinam de modo que todas as instâncias da matriz de transformação e de sua inversa se cancelam, permitindo que expressões como ${v}^{i}\,\mathbf {e} _{i}$ sejam imediatamente reconhecidas como geometricamente idênticas em todos os sistemas de coordenadas.

De modo semelhante, um operador linear, visto como um objeto geométrico, não depende intrinsecamente de uma base: trata-se apenas de uma aplicação linear que recebe um vetor como argumento e produz outro vetor. A lei de transformação de como a matriz de componentes de um operador linear muda com a base é consistente com a lei de transformação de um vetor contravariante, de modo que a ação de um operador linear sobre um vetor contravariante é representada em coordenadas pelo produto matricial de suas respectivas representações de coordenadas. Isto é, as componentes $(Tv)^{i}$ são dadas por $(Tv)^{i}=T_{j}^{i}v^{j}$. Essas componentes transformam-se contravariantemente, pois:

$\left({\widehat {Tv}}\right)^{i'}={\hat {T}}_{j'}^{i'}{\hat {v}}^{j'}=\left[\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}\right]\left[\left(R^{-1}\right)_{k}^{j'}v^{k}\right]=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}(Tv)^{i}.$

A lei de transformação para um tensor de ordem $p+q$ com $p$ índices contravariantes e $q$ índices covariantes é dada por:

${\hat {T}}_{j'_{1},\ldots ,j'_{q}}^{i'_{1},\ldots ,i'_{p}}=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.$

Aqui, os índices com apóstrofo denotam componentes nas novas coordenadas, e os índices sem apóstrofo denotam as componentes nas coordenadas antigas. Diz-se que tal tensor é de ordem ou tipo $(p,q)$. Os termos "ordem", "tipo", "posto", "valência" e "grau" são todos por vezes empregados para designar o mesmo conceito. Aqui, o termo "ordem" ou "ordem total" será utilizado para a dimensão total do arranjo (ou sua generalização em outras definições), $p+q$ no exemplo anterior, e o termo "tipo" para o par que fornece o número de índices contravariantes e covariantes. Um tensor de tipo $(p,q)$ também é denominado, abreviadamente, um $(p,q)$-tensor.

Essa discussão motiva a seguinte definição formal:

Definição. Um tensor de tipo $(p,q)$ é a atribuição de um arranjo multidimensional

$T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}[\mathbf {f} ]$

a cada base $\mathbf {f} =(\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n})$ de um espaço vetorial $n$-dimensional de tal modo que, ao aplicarmos a mudança de base

$\mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} \cdot R=\left(\mathbf {e} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {e} _{i}R_{n}^{i}\right),$

o arranjo multidimensional obedeça à lei de transformação:

$T_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}[\mathbf {f} ]R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.$

A definição de um tensor como um arranjo multidimensional que satisfaz a uma lei de transformação remonta aos trabalhos de Ricci.

Uma definição equivalente de tensor utiliza as representações do grupo linear geral. Há uma ação do grupo linear geral sobre o conjunto de todas as bases ordenadas de um espaço vetorial $n$-dimensional. Se $\mathbf {f} =(\mathbf {f} _{1},\dots ,\mathbf {f} _{n})$ for uma base ordenada e $R=\left(R_{j}^{i}\right)$ for uma matriz invertível $n\times n$, a ação é expressa por:

$\mathbf {f} R=\left(\mathbf {f} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {f} _{i}R_{n}^{i}\right).$

Seja $F$ o conjunto de todas as bases ordenadas. Então, $F$ é um espaço homogêneo principal para $\mathrm {GL} (n)$. Seja $W$ um espaço vetorial e seja $\rho$ uma representação de $\mathrm {GL} (n)$ em $W$ (isto é, um homomorfismo de grupos ${\displaystyle \rho$ :\mathrm {GL} (n)\to \mathrm {GL} (W)} ). Um tensor de tipo $\rho$ é uma aplicação equivariante $T:F\to W$. A equivariância aqui significa que:

$T(FR)=\rho \left(R^{-1}\right)T(F).$

Quando $\rho$ é uma representação tensorial do grupo linear geral, isso fornece a definição usual de tensores como arranjos multidimensionais. Essa formulação é frequentemente empregada para descrever tensores sobre variedades, generalizando-se facilmente para outros grupos.

Como aplicações multilineares

Ver artigo principal: Aplicação multilinear

Uma desvantagem da definição de tensor pela abordagem de arranjos multidimensionais é que não é evidente a partir da definição que o objeto é de fato independente da base, como se espera de um objeto intrinsecamente geométrico. Embora seja possível demonstrar que as leis de transformação asseguram a independência em relação à base, por vezes prefere-se uma definição mais intrínseca. Uma abordagem comum na geometria diferencial consiste em definir os tensores em relação a um espaço vetorial fixo (de dimensão finita) $V$, habitualmente tomado como um espaço de significado geométrico particular, como o espaço tangente a uma variedade. Nessa abordagem, um tensor $T$ de tipo $(p,q)$ é definido como uma aplicação multilinear:

$T:\underbrace {V^{*}\times \dots \times V^{*}} _{p{\text{ cópias}}}\times \underbrace {V\times \dots \times V} _{q{\text{ cópias}}}\rightarrow \mathbb {R} ,$

onde $V^{*}$ é o correspondente espaço dual de covetores, com a aplicação sendo linear em cada um de seus argumentos. O texto acima assume que $V$ é um espaço vetorial sobre os números reais, $\mathbb {R}$. De forma mais geral, $V$ pode ser estabelecido sobre qualquer corpo $\mathbb {F}$ (por exemplo, os números complexos), com $\mathbb {F}$ substituindo $\mathbb {R}$ como contradomínio das aplicações multilineares.

Ao aplicar uma aplicação multilinear $T$ de tipo $(p,q)$ a uma base $\{\mathbf {e} _{j}\}$ de $V$ e a uma base canônica dual $\{{\boldsymbol {\varepsilon }}^{i}\}$ de $V^{*}$:

$T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\equiv T\left({\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{1}},\ldots ,{\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{p}},\mathbf {e} _{j_{1}},\ldots ,\mathbf {e} _{j_{q}}\right),$

obtém-se um arranjo $(p+q)$-dimensional de componentes. Uma escolha diferente de base produzirá componentes distintas. Mas, como $T$ é linear em todos os seus argumentos, as componentes satisfazem à lei de transformação tensorial empregada na definição de arranjos multilineares. O arranjo multidimensional de componentes de $T$ forma, portanto, um tensor de acordo com aquela definição. Além disso, tal arranjo pode ser realizado como as componentes de alguma aplicação multilinear $T$. Isso justifica a visualização das aplicações multilineares como os objetos intrínsecos subjacentes aos tensores.

Ao considerar um tensor como uma aplicação multilinear, é convencional identificar o bidual $V^{**}$ do espaço vetorial $V$ — isto é, o espaço dos funcionais lineares sobre o espaço vetorial dual $V^{*}$ — com o próprio espaço vetorial $V$. Há sempre uma aplicação linear natural de $V$ em seu bidual, dada pela avaliação de uma forma linear em $V^{*}$ contra um vetor em $V$. Essa aplicação linear é um isomorfismo em dimensões finitas e, por isso, é conveniente identificar $V$ com seu bidual.

Utilizando produtos tensoriais

Ver artigo principal: Tensor (definição intrínseca)

Para algumas aplicações matemáticas, uma abordagem mais abstrata mostra-se útil. Isso pode ser alcançado definindo-se tensores em termos de elementos de produtos tensoriais de espaços vetoriais, os quais, por sua vez, são definidos por meio de uma propriedade universal.

Um tensor de tipo $(p,q)$ é definido neste contexto como um elemento do produto tensorial de espaços vetoriais:

$T\in \underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{p{\text{ cópias}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{q{\text{ cópias}}}.$

Uma base $v_{i}$ de $V$ e uma base $w_{j}$ de $W$ induzem naturalmente uma base $v_{i}\otimes w_{j}$ do produto tensorial $V\otimes W$. As componentes de um tensor $T$ são os coeficientes do tensor em relação à base obtida a partir de uma base $\{\mathbf {e} _{i}\}$ de $V$ e de sua base dual $\{{\boldsymbol {\varepsilon }}^{j}\}$, isto é:

$T=T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\;\mathbf {e} _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{p}}\otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{q}}.$

Utilizando as propriedades do produto tensorial, demonstra-se que essas componentes satisfazem à lei de transformação para um tensor de tipo $(p,q)$. Além disso, a propriedade universal do produto tensorial estabelece uma correspondência biunívoca entre os tensores definidos dessa maneira e os tensores definidos como aplicações multilineares.

Essa correspondência biunívoca decorre do fato de que, no caso de dimensão finita, existe um isomorfismo canônico entre um espaço vetorial e seu bidual:

$U\otimes V\cong \left(U^{**}\right)\otimes \left(V^{**}\right)\cong \left(U^{*}\otimes V^{*}\right)^{*}\cong \operatorname {Hom} ^{2}\left(U^{*}\times V^{*};\mathbb {F} \right).$

A última linha utiliza a propriedade universal do produto tensorial, estabelecendo a correspondência biunívoca entre aplicações em $\operatorname {Hom} ^{2}\left(U^{*}\times V^{*};\mathbb {F} \right)$ e em $\operatorname {Hom} \left(U^{*}\otimes V^{*};\mathbb {F} \right)$.

Os produtos tensoriais podem ser formulados em grande generalidade — por exemplo, envolvendo módulos arbitrários sobre um anel. Em princípio, poder-se-ia definir um "tensor" simplesmente como um elemento de qualquer produto tensorial. No entanto, a literatura matemática reserva habitualmente o termo tensor para um elemento de um produto tensorial de cópias de um único espaço vetorial $V$ e de seu dual, como descrito acima.

Tensores em dimensões infinitas

Esta discussão sobre tensores assume a dimensionalidade finita dos espaços envolvidos, onde os espaços de tensores obtidos por cada uma dessas construções são naturalmente isomorfos. Construções de espaços tensoriais baseadas no produto tensorial e em aplicações multilineares podem ser generalizadas, essencialmente sem alterações, para fibrados vetoriais ou feixes coerentes. Para espaços vetoriais de dimensão infinita, topologias não equivalentes conduzem a noções não equivalentes de tensor, e esses vários isomorfismos podem ou não ser válidos dependendo do que se entende exatamente por um tensor (ver produto tensorial topológico). Em certas aplicações, visa-se ao produto tensorial de espaços de Hilbert, cujas propriedades são as mais próximas do caso de dimensão finita. Uma visão moderna enfatiza a estrutura dos tensores como uma categoria monoidal simétrica que codifica suas propriedades essenciais, em detrimento dos modelos específicos dessas categorias.

Campos tensoriais

Ver artigo principal: Campo tensorial

Em muitas aplicações, especialmente na geometria diferencial e na física, é natural considerar um tensor cujas componentes são funções da posição no espaço. Esse foi o contexto do trabalho original de Ricci. Na terminologia matemática moderna, tal objeto é denominado um campo tensorial, sendo frequentemente chamado de modo sucinto apenas de tensor.

Nesse contexto, uma base de coordenadas é frequentemente escolhida para o espaço tangente. A lei de transformação pode então ser expressa em termos das derivadas parciais das funções de coordenadas:

${\bar {x}}^{i}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right),$

definindo uma transformação de coordenadas:

${\hat {T}}_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}\left({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n}\right)={\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{q}}}}T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right).$

História

Os conceitos da posterior análise tensorial originaram-se dos trabalhos de Carl Friedrich Gauss na geometria diferencial, e sua formulação foi muito influenciada pela teoria das formas algébricas e dos invariantes desenvolvida em meados do século XIX. O próprio vocábulo "tensor" foi introduzido em 1846 por William Rowan Hamilton para descrever uma operação sobre quaterniões distinta da definição atual. Josiah Willard Gibbs introduziu as grandezas diádicas e a álgebra poliádica, que também são tensores no sentido moderno. O emprego contemporâneo do termo foi introduzido por Woldemar Voigt em 1898.

O cálculo tensorial foi desenvolvido por volta de 1890 por Gregorio Ricci-Curbastro sob o título de cálculo diferencial absoluto, tendo sido apresentado originalmente em 1892. Ele tornou-se amplamente acessível aos matemáticos com a publicação, em 1900, do texto clássico de Ricci-Curbastro e Tullio Levi-Civita, Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications. Na notação de Ricci, ele refere-se a "sistemas" com componentes covariantes e contravariantes, os quais correspondem aos campos tensoriais no sentido moderno.

No século XX, o assunto passou a ser denominado análise tensorial. Obteve maior aceitação a partir da aplicação de Hermann Minkowski à relatividade restrita em 1908 e de seu desenvolvimento do conceito de espaço-tempo. Albert Einstein aprendeu sobre eles a partir do geômetra Marcel Grossmann. Levi-Civita iniciou então uma correspondência com Einstein para sanar equívocos cometidos por este no emprego da análise tensorial. A correspondência estendeu-se entre 1915 e 1917, caracterizando-se por considerável respeito mútuo:

Admiro a elegância do seu método de cálculo; deve ser formidável cavalgar através destes campos sobre o cavalo da verdadeira matemática, enquanto pessoas como nós têm de fazer seu caminho laboriosamente a pé.
— Albert Einstein

A relatividade geral de Einstein foi formulada inteiramente na linguagem dos tensores.

Os tensores e campos tensoriais demonstraram-se igualmente indispensáveis em outros campos, como a mecânica dos meios contínuos. Exemplos clássicos de tensores na geometria diferencial incluem as formas quadráticas, como os tensores métricos, e o tensor de curvatura de Riemann. A álgebra exterior de Hermann Grassmann, formulada em meados do século XIX, é em si uma teoria tensorial de forte teor geométrico, mas decorreu algum tempo até que fosse percebida, juntamente com a teoria das formas diferenciais, como naturalmente integrada ao cálculo tensorial. Os trabalhos de Élie Cartan tornaram as formas diferenciais um dos tipos elementares de tensores utilizados na matemática, e Hassler Whitney popularizou o produto tensorial.

A partir da década de 1920, compreendeu-se que os tensores desempenham papel elementar na topologia algébrica (por exemplo, no teorema de Künneth). Há tipos de tensores atuantes em múltiplos ramos da álgebra abstrata, especialmente na álgebra homológica e na teoria da representação. A álgebra multilinear pode ser desenvolvida em generalidade maior do que para escalares provenientes de um corpo: os escalares podem provir, por exemplo, de um anel, tornando a teoria menos geométrica e seus cálculos mais técnicos. Os tensores foram generalizados na teoria das categorias por meio do conceito de categoria monoidal, introduzido na década de 1960.

Exemplos

Um exemplo elementar de mapeamento que pode ser descrito como um tensor é o produto escalar, que mapeia dois vetores em um escalar. Um exemplo mais complexo é o tensor de tensões de Cauchy $\mathbf {T}$, que recebe um vetor unitário direcional $\mathbf {v}$ como entrada e o mapeia no vetor de tensão $\mathbf {T} ^{(\mathbf {v} )}$, o qual expressa a força (por unidade de área) exercida pelo material no lado negativo do plano ortogonal a $\mathbf {v}$ contra o material no lado positivo do plano, expressando uma relação entre esses dois vetores, conforme mostrado na figura acima. O produto vetorial, no qual dois vetores são mapeados em um terceiro, a rigor não é um tensor verdadeiro, pois inverte seu sinal sob transformações que alteram a orientação do sistema de coordenadas. O símbolo totalmente antissimétrico $\varepsilon _{ijk}$ permite, ainda assim, a manipulação conveniente do produto vetorial em sistemas de coordenadas tridimensionais igualmente orientados.

Esta tabela exibe exemplos fundamentais de tensores em espaços vetoriais e campos tensoriais sobre variedades. Os tensores são classificados de acordo com seu tipo $(n,m)$, onde $n$ é o número de índices contravariantes, $m$ é o número de índices covariantes e $n+m$ fornece a ordem total do tensor. Por exemplo, uma forma bilinear é a mesma coisa que um tensor $(0,2)$; um produto interno é um exemplo de tensor $(0,2)$, mas nem todos os tensores $(0,2)$ são produtos internos. Na entrada $(0,M)$ da tabela, $M$ denota a dimensionalidade do espaço vetorial ou variedade subjacente, porque para cada dimensão do espaço é necessário um índice separado para selecionar essa dimensão e obter um tensor antissimétrico maximamente covariante.

Exemplos de tensores em espaços vetoriais e campos tensoriais em variedades

m n	0	1	2	3	⋯	M	⋯
0	escalar, ex.: curvatura escalar	covetor, funcional linear, 1-forma, ex.: momento de dipolo, gradiente de um campo escalar	forma bilinear, ex.: produto interno, momento de quadrupolo, tensor métrico, curvatura de Ricci, 2-forma, forma simplética	3-forma, ex.: momento de octupolo		ex.: $M$-forma, isto é, forma de volume
1	vetor	transformação linear, delta de Kronecker	ex.: produto vetorial em três dimensões	ex.: tensor de curvatura de Riemann
2	bivetor, ex.: estrutura de Poisson, tensor métrico inverso		ex.: tensor de elasticidade
⋮
N	multivetor
⋮

Elevar um índice em um tensor $(n,m)$ produz um tensor $(n+1,m-1)$; isso corresponde a mover-se diagonalmente para baixo e para a esquerda na tabela. De forma simétrica, abaixar um índice corresponde a mover-se diagonalmente para cima e para a direita. A contração de um índice superior com um inferior de um tensor $(n,m)$ produz um tensor $(n-1,m-1)$; isso corresponde a mover-se diagonalmente para cima e para a esquerda na tabela.

Orientação definida por um conjunto ordenado de vetores.

A inversão da orientação corresponde a trocar o sinal do produto exterior.

Interpretação geométrica de elementos de grau $n$ em uma álgebra exterior real para $n=0$ (ponto com sinal), 1 (segmento de reta orientado ou vetor), 2 (elemento de plano orientado), 3 (volume orientado). O produto exterior de $n$ vetores pode ser visualizado como qualquer forma $n$-dimensional (por exemplo, um paralelotopo, um elipsoide); com magnitude (hipervolume) e orientação definida pela de sua fronteira $(n-1)$-dimensional e pelo lado em que se encontra o interior.

Propriedades

Assumindo uma base de um espaço vetorial real — por exemplo, um referencial de coordenadas no espaço ambiente —, um tensor pode ser representado como um arranjo multidimensional de valores numéricos em relação a essa base específica. A mudança da base transforma os valores do arranjo de uma forma característica que permite definir tensores como objetos que aderem a esse comportamento transformacional. Por exemplo, existem invariantes de tensores que devem ser preservados sob qualquer mudança de base, qualificando apenas certos arranjos multidimensionais de números como tensores. Compare isso com o arranjo representativo de $\varepsilon _{ijk}$, que não é um tensor devido à inversão de sinal sob transformações que alteram a orientação.

Como as componentes dos vetores e de seus duais transformam-se de modo diferente sob a mudança de suas bases duais, existe uma lei de transformação covariante e/ou contravariante que relaciona os arranjos que representam o tensor em relação a uma base com aqueles em relação à outra. O número de, respectivamente, vetores: $n$ (índices contravariantes) e vetores duais: $m$ (índices covariantes) na entrada e saída de um tensor determina o tipo (ou valência) do tensor, um par de números naturais $(n,m)$ que estabelece a forma precisa da lei de transformação. A ordem de um tensor é a soma desses dois números.

A ordem (também grau ou posto) de um tensor é, assim, a soma das ordens de seus argumentos mais a ordem do tensor resultante. Essa é também a dimensionalidade do arranjo de números necessário para representar o tensor com respeito a uma base específica ou, equivalentemente, o número de índices necessários para rotular cada componente nesse arranjo. Por exemplo, em uma base fixada, uma aplicação linear padrão que mapeia um vetor em outro vetor é representada por uma matriz (um arranjo bidimensional) e, portanto, é um tensor de 2.ª ordem. Um vetor ordinário pode ser representado como um arranjo unidimensional e, logo, é um tensor de 1.ª ordem. Escalares são números simples e, portanto, tensores de ordem 0. Dessa maneira, o tensor representativo do produto escalar, que recebe dois vetores e resulta em um escalar, tem ordem $2+0=2$, a mesma do tensor de tensões, que recebe um vetor e retorna outro: $1+1=2$. O símbolo $\varepsilon _{ijk}$, mapeando dois vetores em um vetor, tem ordem $2+1=3$.

A coleção de tensores em um espaço vetorial e seu dual forma uma álgebra tensorial, que admite produtos de tensores arbitrários. Aplicações simples de tensores de ordem $2$, que podem ser representados como uma matriz quadrada, podem ser resolvidas pelo arranjo adequado de vetores transpostos e pela aplicação das regras de multiplicação de matrizes, mas o produto tensorial não deve ser confundido com essas operações.

Notação

Existem vários sistemas de notação utilizados para descrever tensores e realizar cálculos que os envolvam.

Cálculo de Ricci

O cálculo de Ricci é o formalismo e a notação moderna para índices tensoriais: indicando produtos internos e externos, covariância e contravariância, somatórios de componentes tensoriais, simetria e antissimetria, além de derivadas parciais e covariantes.

Convenção de somatório de Einstein

A convenção de somatório de Einstein dispensa a escrita de sinais de somatório, deixando a soma implícita. Qualquer símbolo de índice repetido é somado: se o índice $i$ for usado duas vezes em um mesmo termo de uma expressão tensorial, isso significa que o termo deve ser somado para todos os valores de $i$. Vários pares distintos de índices podem ser somados dessa maneira simultaneamente.

Notação gráfica de Penrose

A notação gráfica de Penrose é uma notação diagramática que substitui os símbolos dos tensores por figuras geométricas e seus índices por linhas e curvas. É independente de elementos de base e não requer símbolos literais para os índices.

Notação de índice abstrato

A notação de índice abstrato é uma forma de escrever tensores na qual os índices não são considerados como numéricos, mas sim como indeterminadas. Essa notação reúne a expressividade dos índices com a independência de base da notação livre de índices.

Notação livre de componentes

O tratamento de tensores livre de componentes utiliza uma notação que enfatiza que os tensores não dependem de nenhuma base, sendo definidos diretamente em termos do produto tensorial de espaços vetoriais.

Operações

Existem várias operações sobre tensores que produzem novamente um tensor. A natureza linear dos tensores implica que dois tensores do mesmo tipo podem ser somados e que tensores podem ser multiplicados por um escalar com resultados análogos à multiplicação de um vetor por um escalar. Nas componentes, essas operações são realizadas elemento a elemento. Elas não alteram o tipo do tensor; no entanto, existem operações que produzem tensores de tipo diferente.

Produto tensorial

Ver artigo principal: Produto tensorial

O produto tensorial combina dois tensores, $S$ e $T$, e produz um novo tensor, $S\otimes T$, cuja ordem é a soma das ordens dos tensores originais. Quando descritos como aplicações multilineares, o produto tensorial simplesmente multiplica os dois tensores como funções: $$(S\otimes T)(v_{1},\ldots ,v_{n},v_{n+1},\ldots ,v_{n+m})=S(v_{1},\ldots ,v_{n})T(v_{n+1},\ldots ,v_{n+m}),$$ o que produz novamente uma aplicação linear em todos os seus argumentos. Nas componentes, o efeito traduz-se em multiplicar as componentes dos dois tensores par a par: $$(S\otimes T)_{j_{1}\ldots j_{k}j_{k+1}\ldots j_{k+m}}^{i_{1}\ldots i_{l}i_{l+1}\ldots i_{l+n}}=S_{j_{1}\ldots j_{k}}^{i_{1}\ldots i_{l}}T_{j_{k+1}\ldots j_{k+m}}^{i_{l+1}\ldots i_{l+n}}.$$ Se $S$ for do tipo $(l,k)$ e $T$ for do tipo $(n,m)$, então o produto tensorial $S\otimes T$ terá tipo $(l+n,k+m)$.

Contração

Ver artigo principal: Contração tensorial

A contração tensorial é uma operação que reduz um tensor de tipo $(n,m)$ a um tensor de tipo $(n-1,m-1)$, da qual o traço é um caso particular. Ela reduz a ordem total de um tensor em duas unidades. A operação é efetuada somando-se as componentes para as quais um índice contravariante especificado é idêntico a um índice covariante especificado, gerando uma nova componente. Componentes para as quais esses dois índices diferem são descartadas. Por exemplo, um tensor $(1,1)$, $T_{i}^{j}$, pode ser contraído em um escalar mediante $T_{i}^{i}$, onde o somatório está implícito. Quando o tensor $(1,1)$ é interpretado como uma aplicação linear, essa operação é conhecida como o traço.

A contração é frequentemente utilizada em conjunto com o produto tensorial para contrair um índice de cada tensor.

A contração também pode ser compreendida utilizando a definição de um tensor como elemento de um produto tensorial de cópias do espaço $V$ com o espaço $V^{*}$, decompondo primeiramente o tensor em uma combinação linear de tensores simples e, em seguida, aplicando um fator de $V^{*}$ a um fator de $V$. Por exemplo, um tensor $T\in V\otimes V\otimes V^{*}$ pode ser escrito como uma combinação linear:

$T=v_{1}\otimes w_{1}\otimes \alpha _{1}+v_{2}\otimes w_{2}\otimes \alpha _{2}+\cdots +v_{N}\otimes w_{N}\otimes \alpha _{N}.$

A contração de $T$ na primeira e na última posições é o vetor:

$\alpha _{1}(v_{1})w_{1}+\alpha _{2}(v_{2})w_{2}+\cdots +\alpha _{N}(v_{N})w_{N}.$

Em um espaço vetorial dotado de um produto interno (também denominado métrica) $g$, o termo contração é empregado para remover dois índices contravariantes ou dois índices covariantes formando um traço com o tensor métrico ou com sua inversa. Por exemplo, um tensor $(2,0)$, $T^{ij}$, pode ser contraído em um escalar mediante $T^{ij}g_{ij}$ (adotando novamente a convenção de somatório).

Elevação e abaixamento de índices

Ver artigo principal: Elevação e abaixamento de índices

Quando um espaço vetorial é equipado com uma forma bilinear não degenerada (ou tensor métrico, como é frequentemente chamado nesse contexto), podem ser definidas operações que convertem um índice contravariante (superior) em um índice covariante (inferior) e vice-versa. Um tensor métrico é um tensor simétrico do tipo $(0,2)$; é possível, portanto, contrair um índice superior de um tensor com um dos índices inferiores do tensor métrico no produto. Isso produz um novo tensor com a mesma estrutura de índices do tensor anterior, mas com o índice inferior posicionado no mesmo lugar do índice superior contraído. Essa operação é graficamente conhecida como abaixamento de um índice.

Reciprocamente, a operação inversa pode ser definida e é denominada elevação de um índice. Ela equivale a uma contração similar no produto com um tensor $(2,0)$. Esse tensor métrico inverso possui componentes que formam a matriz inversa daquela do tensor métrico.

Aplicações

Mecânica dos meios contínuos

Exemplos expressivos são fornecidos pela mecânica dos meios contínuos. As tensões no interior de um sólido ou fluido são descritas por um campo tensorial. O tensor de tensões e o tensor de deformações são ambos campos tensoriais de segunda ordem, e estão relacionados em um material elástico linear geral por um campo tensorial de quarta ordem: o tensor de elasticidade. Em detalhes, o tensor que quantifica a tensão em um objeto sólido tridimensional tem componentes que podem ser convenientemente representadas como um arranjo $3\times 3$. As três faces de um segmento infinitesimal cúbico de volume do sólido estão sujeitas, cada uma, a uma determinada força. As componentes vetoriais dessa força são também três em número. Assim, $3\times 3=9$ componentes são necessárias para descrever o estado de tensão nesse elemento infinitesimal cúbico. No interior do sólido há uma distribuição espacial de grandezas de tensão, exigindo cada ponto 9 valores escalares para sua caracterização. Logo, um tensor de segunda ordem é requerido.

Se um elemento de superfície no interior do material for isolado, a matéria de um lado da superfície exercerá uma força sobre o outro lado. Em geral, essa força não será perpendicular à superfície, dependendo linearmente de sua orientação. Essa relação é descrita por um tensor do tipo $(2,0)$ na elasticidade linear, ou mais precisamente por um campo tensorial do tipo $(2,0)$, já que as tensões variam ponto a ponto.

Outros exemplos da física

Aplicações comuns incluem:

• Tensor eletromagnético (ou tensor de Faraday) no eletromagnetismo;
• Tensores de deformação finita para descrever deformações e o tensor de deformações em mecânica dos meios contínuos;
• Permissividade e suscetibilidade magnética como tensores em meios anisotrópicos;
• Quadritensores na relatividade geral (por exemplo, o tensor de energia-momento), usados para representar fluxos de momento linear;
• Operadores tensoriais esféricos como autofunções do operador quântico de momento angular em coordenadas esféricas;
• Tensores de difusão, que fundamentam a imagem por ressonância magnética com tensor de difusão, representando taxas de difusão em tecidos biológicos;
• Mecânica quântica e computação quântica, que utilizam produtos tensoriais para a combinação de estados quânticos compostos.

Visão computacional e óptica

O conceito de um tensor de ordem dois é frequentemente associado ao de uma matriz. Tensores de ordem superior, no entanto, capturam noções importantes na ciência e na engenharia. Isso ocorre, por exemplo, no campo da visão computacional, no qual o tensor trifocal generaliza a matriz fundamental.

O campo da óptica não linear investiga as alterações na densidade de polarização material sob a ação de campos elétricos intensos. As ondas de polarização geradas estão relacionadas aos campos elétricos aplicados por meio do tensor de suscetibilidade não linear. Se a polarização $\mathbf {P}$ não for linearmente proporcional ao campo elétrico $\mathbf {E}$, o meio é classificado como não linear. Em boa aproximação (para campos moderados, assumindo a ausência de momentos dipolares permanentes), $\mathbf {P}$ é dado por uma série de Taylor em $\mathbf {E}$ cujos coeficientes são as suscetibilidades não lineares:

${\frac {P_{i}}{\varepsilon _{0}}}=\sum _{j}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\sum _{jk}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\sum _{jk\ell }\chi _{ijk\ell }^{(3)}E_{j}E_{k}E_{\ell }+\cdots .$

Aqui, $\chi ^{(1)}$ representa a suscetibilidade linear, $\chi ^{(2)}$ rege o efeito Pockels e a geração de segundo harmônico, e $\chi ^{(3)}$ rege o efeito Kerr. Essa expansão ilustra a forma como tensores de ordens superiores surgem naturalmente na física.

Aprendizado de máquina

Ver artigo principal: Tensor (aprendizado de máquina)

As propriedades dos tensores, em particular a decomposição tensorial, viabilizaram seu uso no aprendizado de máquina para estruturar dados de dimensões elevadas em redes neurais artificiais. Essa noção de tensor difere da empregada na matemática pura e na física teórica, no sentido de que é tratada essencialmente como sinônimo de arranjo multidimensional de dados numéricos. Abstratamente, o tensor pertence a um produto tensorial de espaços, cada um munido de uma base fixada, podendo as dimensões dos espaços componentes ser distintas. Assim, um exemplo de tensor nesse contexto é uma matriz retangular. Da mesma forma que uma matriz possui dois eixos (horizontal e vertical) para indicar a posição de cada entrada, um tensor genérico possui tantos eixos quanto forem os fatores no produto tensorial ao qual pertence, sendo uma entrada referenciada por uma tupla de números inteiros.

Generalizações

Produtos tensoriais de espaços vetoriais

Os espaços vetoriais constituintes de um produto tensorial não necessitam ser iguais, e por vezes os elementos de tal produto mais geral são chamados de "tensores". Por exemplo, um elemento do espaço do produto tensorial $V\otimes W$ é um "tensor" de segunda ordem nesse sentido amplo, e um tensor de ordem $d$ pode igualmente ser definido como um elemento de um produto tensorial de $d$ espaços vetoriais distintos. Um tensor de tipo $(n,m)$, no sentido definido anteriormente, é também um tensor de ordem $n+m$ nessa conceituação estendida. O conceito de produto tensorial estende-se a módulos arbitrários sobre um anel.

Tensores em dimensões infinitas

A noção de tensor pode ser generalizada de várias maneiras para espaços de dimensão infinita. Uma delas dá-se por meio do produto tensorial de espaços de Hilbert. Outra maneira comum na análise não linear fundamenta-se na definição por aplicações multilineares, na qual, em vez de espaços vetoriais de dimensão finita e de seus duais algébricos, utilizam-se espaços de Banach de dimensão infinita e seus respectivos duais contínuos. Os tensores definem-se de maneira natural sobre variedades de Banach e variedades de Fréchet.

Densidades tensoriais

Ver artigo principal: Densidade tensorial

Suponha que um meio homogêneo preencha o espaço $\mathbb {R} ^{3}$, de modo que a densidade do meio seja descrita por um único valor escalar $\rho$ expresso em ${\text{kg}}\cdot {\text{m}}^{-3}$. A massa, em kg, de uma região $\Omega$ é obtida multiplicando-se $\rho$ pelo volume da região $\Omega$, ou integrando-se a constante $\rho$ sobre a região:

$m=\int _{\Omega }\rho \,dx\,dy\,dz,$

onde as coordenadas cartesianas $x,y,z$ são medidas em metros. Se as unidades de comprimento forem convertidas para centímetros, os valores numéricos das coordenadas devem ser reescalonados por um fator de 100:

$x'=100x,\quad y'=100y,\quad z'=100z.$

O valor numérico da densidade $\rho$ deve então transformar-se por $100^{-3}\ {\text{m}}^{3}/{\text{cm}}^{3}$ para compensar, de modo que a massa calculada em kg continue sendo dada pela integral de $\rho \,dx\,dy\,dz$. Assim, $\rho '=100^{-3}\rho$ (em unidades de ${\text{kg}}\cdot {\text{cm}}^{-3}$).

Mais genericamente, se as coordenadas cartesianas $x,y,z$ sofrerem uma transformação linear, o valor numérico da densidade $\rho$ deve variar pelo recíproco do valor absoluto do determinante da transformação de coordenadas, para que a integral permaneça invariante pela fórmula de mudança de variáveis. Uma grandeza que se reescala pelo recíproco do valor absoluto do determinante da matriz de transição de coordenadas é denominada uma densidade escalar. Para modelar uma densidade não constante, $\rho$ é uma função das variáveis $x,y,z$ (um campo escalar) e, sob uma mudança de coordenadas curvilíneas, transforma-se pelo recíproco do determinante jacobiano da mudança de coordenadas.

Uma densidade tensorial transforma-se como um tensor sob uma mudança de coordenadas, exceto pelo fato de incorporar adicionalmente um fator dado por uma potência do valor absoluto do determinante da matriz de transição de coordenadas:

$T_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left|\det R\right|^{-w}\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}[\mathbf {f} ]R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.$

Aqui, $w$ é denominado o peso da densidade. Em geral, qualquer tensor multiplicado por uma potência dessa função determinante é chamado de densidade tensorial ou tensor ponderado. Um exemplo clássico de densidade tensorial é a densidade de corrente no eletromagnetismo.

Sob uma transformação afim de coordenadas, um tensor transforma-se pela parte linear da própria transformação (ou por sua inversa) em cada índice. Essas transformações derivam das representações racionais do grupo linear geral. As densidades tensoriais, por sua vez, correspondem a representações semi-simples não racionais. Uma classe adicional de transformações provém da representação logarítmica do grupo linear geral, uma representação redutível, mas não semi-simples, constituída por pares $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ com a lei de transformação:

$(x,y)\mapsto (x+y\log \left|\det R\right|,y).$

Objetos geométricos

A lei de transformação de um tensor atua como um funtor na categoria dos sistemas de coordenadas admissíveis sob transformações lineares gerais (ou sob outras classes, como difeomorfismos locais). Isso faz de um tensor um caso particular de objeto geométrico, no sentido formal de ser uma função do sistema de coordenadas que se transforma funtorialmente sob mudanças de cartas. Exemplos de entidades que obedecem a leis de transformação mais gerais incluem os jatos e os fibrados naturais.

Espinores

Ver artigo principal: Espinor

Ao passar de uma base ortonormal para outra por uma rotação espacial, as componentes de um tensor transformam-se por essa mesma rotação. Essa transformação independe do caminho percorrido através do espaço dos referenciais. No entanto, o espaço dos referenciais não é simplesmente conexo: existem caminhos contínuos no espaço dos referenciais com as mesmas configurações inicial e final que não são deformáveis continuamente uns nos outros. É possível associar um invariante discreto adicional a cada referencial que incorpora essa dependência do caminho, assumindo localmente os valores de $\pm 1$. Um espinor é um objeto geométrico que se transforma como um tensor sob rotações no referencial, a menos de um sinal que é determinado pelo valor desse invariante discreto.

Os espinores são elementos da representação de spin do grupo de rotações, enquanto os tensores são elementos de suas representações tensoriais. Outros grupos clássicos possuem representações tensoriais compatíveis, mas grupos clássicos não compactos admitem também representações unitárias de dimensão infinita.

Ver também

• Bitensores

Fundamentais

• Tensor cartesiano
• Fibrado vetorial
• Glossário de teoria dos tensores
• Projeção multilinear
• 1-forma
• Produto tensorial de módulos

Aplicações

• Mecânica dos meios contínuos
• Derivada covariante
• Curvatura
• DTI (Imagem por tensor de difusão)
• Equações de campo de Einstein
• Mecânica dos fluidos
• Gravidade
• Aprendizado em subespaço multilinear
• Geometria riemanniana
• Tensor de estrutura
• Decomposição tensorial
• Derivada tensorial

Notas e referências