Valor do dinheiro no tempo

Valor presente de 1.000 dólares a receber daqui a 100 anos. As curvas correspondem a taxas de desconto constantes de 2%, 3%, 5% e 7%.

O valor do dinheiro no tempo é o princípio de que, em geral, receber uma quantia de dinheiro no presente é mais vantajoso do que receber a mesma quantia no futuro. Esse princípio pode ser entendido como uma consequência da preferência temporal, conceito formulado mais tarde.

A vantagem de receber o dinheiro mais cedo está na possibilidade de investi-lo e obter uma taxa de retorno positiva, aumentando a quantia disponível no futuro. Nessas condições, um dólar recebido no presente vale mais do que um dólar a receber depois.

O valor do dinheiro no tempo é um dos fatores usados para avaliar o custo de oportunidade de gastar, poupar ou investir. Também ajuda a explicar o pagamento de juros. Em um depósito bancário ou em uma dívida, os juros compensam o depositante ou o credor por abrir mão do uso de seu dinheiro. O investidor aceita adiar o consumo quando espera obter um retorno líquido que compense sua preferência por gastar no presente e a inflação, quando houver. A quantia disponível no futuro precisa ter valor suficiente para atender a essa expectativa, expressa na taxa mínima de atratividade.

Visão geral

O valor do dinheiro no tempo permite comparar fluxos de caixa de datas diferentes ao convertê-los para uma única data de avaliação, muitas vezes chamada de "instante zero". Em um modelo simples de tempo discreto, o tempo é dividido em períodos de igual duração, $t=0,1,2,\dots$, e uma taxa efetiva de juros constante, $i$, é aplicada uma vez por período.

Se uma quantia $\mathrm {VP}$ é investida no instante zero, seu valor após $n$ períodos, chamado de valor futuro, é $$\mathrm {VF} =\mathrm {VP} (1+i)^{n}.$$ O desconto faz a operação inversa. O valor presente de uma quantia certa $\mathrm {VF}$ a receber no instante $n$ é $$\mathrm {VP} =\mathrm {VF} (1+i)^{-n}={\frac {\mathrm {VF} }{(1+i)^{n}}}.$$ O termo $(1+i)^{n}$ é o fator de capitalização para $n$ períodos, e $(1+i)^{-n}$ é o fator de desconto correspondente.

Para uma sequência de fluxos de caixa $\mathrm {FC} _{t}$, positivos nos recebimentos e negativos nos pagamentos, o valor presente é a soma dos valores descontados de cada fluxo: $$\mathrm {VP} =\sum _{t=0}^{n}{\frac {\mathrm {FC} _{t}}{(1+i)^{t}}}.$$ Essa soma é a base dos cálculos de valor presente líquido usados na avaliação de ativos e no orçamento de capital.

Os cálculos precisam manter a coerência entre valores nominais e reais. Fluxos de caixa nominais são descontados a taxas nominais. Fluxos reais, dos quais se retirou o efeito da inflação geral, são descontados a taxas reais. Misturar essas duas convenções altera o resultado do cálculo mesmo que as condições econômicas sejam as mesmas.

História

A cobrança e o pagamento de juros, a capitalização de saldos e a comparação de pagamentos em datas diferentes são anteriores à terminologia usada para esses cálculos. Os juros compostos eram empregados em transações comerciais desde a Idade Média. Os métodos matemáticos para calcular pagamentos condicionados à duração da vida se desenvolveram com a teoria das probabilidades e o uso de dados de mortalidade nas ciências atuariais.

O cálculo do preço de anuidades e de outros contratos de longa duração levou ao desenvolvimento de técnicas formais de valor presente. A avaliação de rendas vitalícias passou a empregar métodos de valor esperado descontado, com o uso de tábuas de mortalidade e de procedimentos para descontar fluxos de caixa condicionados a acontecimentos futuros.

No século XVII, Johan de Witt e Edmond Halley trabalharam no cálculo do valor de rendas vitalícias. A correspondência de De Witt com Jan Hudde, em 1671, abordou esse problema. Em 1693, Halley apresentou um método para calcular o preço de uma renda vitalícia com uma tábua construída a partir de dados de mortalidade observados.

As primeiras discussões econômicas sobre empréstimos, usura e poder de compra antecederam as teorias de desconto e juros. Nos séculos XVI e início do XVII, estudiosos da Universidade de Salamanca debateram as mudanças no poder de compra do dinheiro e a legitimidade moral e jurídica do crédito. Esses debates seguiam a escolástica, que examinava questões monetárias e comerciais junto à teologia e ao direito.

As discussões de Martín de Azpilcueta sobre dinheiro e câmbio receberam interpretações que lhe atribuem uma antecipação de elementos da teoria dos juros. Pedro J. Caranti contesta a leitura de sua obra como uma formulação precoce da teoria da preferência temporal. Azpilcueta condenou a usura de modo geral ao longo de sua vida.

Em The Theory of Interest, publicado em 1930, Irving Fisher formalizou uma teoria da avaliação entre datas diferentes na qual os juros dependem da impaciência para consumir, ou preferência temporal, e das oportunidades de investimento. Essa formulação foi retomada nas análises de desconto e valor presente em economia e finanças.

Cálculos

Os problemas de valor do dinheiro no tempo envolvem o valor líquido de fluxos de caixa em datas diferentes. Em um caso típico, as variáveis são o saldo, a taxa de juros por período, o número de períodos e os fluxos de caixa. O saldo é o valor real ou nominal de uma dívida ou de um ativo financeiro, expresso em unidades monetárias. Em uma dívida, os fluxos de caixa correspondem aos pagamentos de principal e juros. Em um ativo financeiro, são aportes ou retiradas. Os fluxos também podem ocorrer em datas irregulares, especificadas individualmente.

Qualquer uma dessas variáveis pode ser a incógnita de um problema. Por exemplo, uma dívida pode ter taxa de juros de 0,5% ao mês, prazo de 60 meses, saldo inicial de 25.000 unidades monetárias e saldo final igual a zero. Nesse caso, a incógnita pode ser a prestação mensal que o devedor precisa pagar.

Uma aplicação de 100 libras esterlinas por um ano, a juros de 5%, resulta em 105 libras ao fim desse prazo. Para quem espera receber juros de 5%, 100 libras pagas no presente e 105 libras pagas exatamente um ano depois têm o mesmo valor, supondo inflação de 0%. A aplicação inicial de 100 libras tem, nesse exemplo, valor futuro de 105 libras.

Esse princípio permite avaliar uma sequência de rendimentos esperados. Cada rendimento anual é descontado, e a soma desses valores dá o valor presente de toda a sequência. Os cálculos usuais partem da expressão algébrica do valor presente de uma quantia futura. Por exemplo, o valor futuro $\mathrm {VF}$, a receber em um ano, é descontado à taxa de juros $r$ para obter o valor presente $\mathrm {VP}$: $$\mathrm {VP} ={\frac {\mathrm {VF} }{1+r}}.$$

Entre os cálculos baseados no valor do dinheiro no tempo estão os seguintes:

• O valor presente é o valor, na data da avaliação, de uma quantia ou de fluxos de caixa futuros, dada uma taxa de retorno. Quanto maior a taxa de desconto, menor o valor presente dos fluxos futuros. A escolha de uma taxa adequada permite avaliar esses fluxos, sejam recebimentos ou obrigações.
• O valor presente de uma anuidade é o valor de uma sequência de pagamentos ou recebimentos iguais, separados por intervalos regulares. Pagamentos de arrendamento e aluguel são exemplos. Em uma anuidade postecipada, cada pagamento ocorre no fim do período. Em uma anuidade antecipada, ocorre no início.
• O valor presente de uma perpetuidade corresponde a uma sequência infinita de fluxos de caixa iguais, recebidos em intervalos regulares.
• O valor futuro é o valor de um ativo ou de uma quantia em uma data futura, calculado a partir de seu valor presente.
• O valor futuro de uma anuidade, ou VFA, é o valor acumulado de uma sequência de pagamentos, supondo que cada pagamento seja investido a uma taxa de juros determinada.

As igualdades entre esses valores podem ser expressas por equações básicas. Em geral, é possível resolvê-las por meio das fórmulas, de uma calculadora financeira ou de uma planilha eletrônica. A maioria das calculadoras financeiras já tem essas fórmulas programadas. As planilhas também oferecem funções para esses cálculos, como VP, VF, TAXA, NPER e PGTO no Excel em português brasileiro.

As equações podem ser reorganizadas para determinar outras incógnitas. Na fórmula usual da anuidade, a taxa de juros é, em geral, obtida por métodos numéricos. Calculadoras financeiras e planilhas executam os cálculos iterativos necessários.

Essas equações também podem ser combinadas. O preço de uma obrigação com cupons, por exemplo, depende de dois tipos de pagamento. Os cupons formam uma sequência semelhante a uma anuidade, e a devolução de capital ocorre de uma só vez no vencimento. A soma dos valores presentes desses pagamentos dá o valor do título.

A taxa de juros $i$ precisa corresponder ao período dos pagamentos. Para uma anuidade com um pagamento por ano, usa-se a taxa anual. Se os pagamentos seguem outra periodicidade, a taxa deve ser convertida para o intervalo correspondente. Em um financiamento imobiliário com prestações mensais, uma taxa nominal anual com capitalização mensal é dividida por 12 para obter a taxa mensal. Se a taxa anual for efetiva, a taxa mensal equivalente é $(1+i_{a})^{1/12}-1$, em que $i_{a}$ é a taxa efetiva anual. A equivalência entre taxas de períodos diferentes depende do regime de juros compostos.

A taxa de retorno pode ser a incógnita ou um dado do cálculo. Conforme o problema, ela pode expressar desconto, juros, inflação, retorno do investimento, custo do capital próprio ou custo da dívida. Uma taxa inadequada compromete o resultado da avaliação.

Nos cálculos de anuidades, também é preciso distinguir pagamentos no fim de cada período, próprios de uma anuidade postecipada, de pagamentos no início, próprios de uma anuidade antecipada. Calculadoras financeiras e planilhas costumam permitir essa escolha. As fórmulas a seguir são para anuidades postecipadas. Para obter o valor presente de uma anuidade antecipada, multiplica-se o resultado por $1+i$.

Fórmulas

As fórmulas usam as seguintes variáveis:

• $\mathrm {VP}$ é o valor no instante zero, ou valor presente.
• $\mathrm {VF}$ é o valor no instante $n$, ou valor futuro.
• $A$ é o valor de cada pagamento por período de capitalização.
• $n$ é o número de períodos. Na capitalização de uma quantia isolada, não precisa ser inteiro. Nas somas de pagamentos periódicos, corresponde ao número de pagamentos.
• $i$ é a taxa de juros aplicada a cada período.
• $g$ é a taxa de crescimento dos pagamentos por período.

Valor futuro de uma quantia presente

O valor futuro é calculado com as mesmas variáveis: $$\mathrm {VF} =\mathrm {VP} (1+i)^{n}.$$

Valor presente de uma quantia futura

A fórmula do valor presente é a base dos cálculos do valor do dinheiro no tempo. As demais fórmulas derivam dela. A fórmula de uma anuidade, por exemplo, resulta da soma de valores presentes de pagamentos individuais.

A expressão tem quatro variáveis. Conhecidas as demais, pode-se determinar cada uma delas por manipulação algébrica ou por métodos numéricos: $$\mathrm {VP} ={\frac {\mathrm {VF} }{(1+i)^{n}}}.$$ O valor presente total de fluxos de caixa futuros é calculado pela soma dos valores descontados de $\mathrm {VF} _{t}$, o fluxo de caixa no instante $t$: $$\mathrm {VP} =\sum _{t=1}^{n}{\frac {\mathrm {VF} _{t}}{(1+i)^{t}}}.$$ Essa soma pode ser calculada para um número finito de períodos ou para uma sequência infinita, desde que a série convirja. Os casos a seguir são aplicações dessa expressão geral.

Valor presente de uma anuidade com n períodos de pagamento

Nesse caso, os pagamentos mantêm o mesmo valor durante os $n$ períodos. A fórmula do valor presente da anuidade tem quatro variáveis, que podem ser determinadas por métodos numéricos: $$\mathrm {VP} (A)={\frac {A}{i}}\left[1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}\right].$$ Para obter o valor presente de uma anuidade antecipada, multiplica-se a expressão por $1+i$.

Valor presente de uma anuidade crescente

Em uma anuidade crescente, cada pagamento é multiplicado pelo fator $1+g$ em relação ao anterior. A fórmula usa as mesmas variáveis da anuidade constante e acrescenta a taxa de crescimento $g$. A letra $A$ corresponde ao pagamento do primeiro período. Esse cálculo nem sempre está disponível como uma função pronta nas calculadoras financeiras.

Para $i\neq g$: $$\mathrm {VP} (A)={\frac {A}{i-g}}\left[1-\left({\frac {1+g}{1+i}}\right)^{n}\right].$$ Para $i=g$: $$\mathrm {VP} (A)={\frac {An}{1+i}}.$$ Para obter o valor presente de uma anuidade crescente antecipada, multiplica-se a expressão correspondente por $1+i$.

Valor presente de uma anuidade crescente e de uma aposentadoria de valor fixo

A combinação de uma anuidade crescente com uma anuidade constante permite calcular o valor presente de um complemento destinado a reajustar uma aposentadoria pelo custo de vida. Se $F$ é o benefício fixo e $A$ é o primeiro complemento, o total inicial $A+F$ cresce pelo fator $1+g$. O complemento de cada período é a diferença entre esse total reajustado e o benefício fixo $F$. Subtraindo os valores presentes das duas anuidades, para $i\neq g$ e $i\neq 0$, obtém-se: $$\mathrm {VP} (A)={\frac {A+F}{i-g}}\left[1-\left({\frac {1+g}{1+i}}\right)^{n}\right]-{\frac {F}{i}}\left[1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}\right].$$

Para calcular o capital necessário apenas para os reajustes, toma-se $A=0$. Os complementos seguem esta sequência:

• No primeiro ano, não há complemento.
• No segundo ano, o complemento é $Fg$.
• No terceiro ano, é $F(1+g)^{2}-F$.
• No quarto ano, é $F(1+g)^{3}-F$, e assim por diante.

Se o capital disponível for maior que o valor presente necessário, o excedente pode ser distribuído pelos pagamentos futuros como uma anuidade crescente, com aumento de $1+g$ a cada ano. Se for menor, o valor calculado para $A$ será negativo. Nesse caso, o benefício inicial precisará ser reduzido para que o capital financie os reajustes previstos.

Valor presente de uma perpetuidade

Uma perpetuidade é uma sequência de pagamentos de valor fixo, em intervalos regulares, sem data para terminar. Com $i>0$, quando $n\to \infty$, a fórmula do valor presente se reduz a uma divisão: $$\mathrm {VP} (P)={\frac {A}{i}}.$$

Valor presente de uma perpetuidade crescente

Quando os pagamentos de uma perpetuidade crescem a uma taxa constante $g$, com $g<i$, seu valor é obtido tomando o limite da fórmula da anuidade crescente quando $n\to \infty$: $$\mathrm {VP} (A)={\frac {A}{i-g}}.$$

Poucos títulos seguem exatamente essas condições. É raro encontrar pagamentos que cresçam a uma taxa fixa e se mantenham por prazo indefinido. A aplicação do método exige ajustes às características do ativo, mas pode ser usada para avaliar imóveis, ações e outros bens.

Essa é a fórmula do modelo de Gordon, usado na avaliação de ações.

Valor futuro de uma anuidade

A fórmula do valor futuro de uma anuidade após $n$ períodos tem quatro variáveis, que podem ser determinadas por métodos numéricos: $$\mathrm {VF} (A)=A{\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}.$$ Para obter o valor futuro de uma anuidade antecipada, multiplica-se a expressão por $1+i$.

Valor futuro de uma anuidade crescente

A fórmula do valor futuro de uma anuidade crescente após $n$ períodos tem cinco variáveis. Ela resulta da capitalização do valor presente da anuidade crescente, e suas incógnitas podem ser determinadas por métodos numéricos.

Para $i\neq g$: $$\mathrm {VF} (A)=A{\frac {(1+i)^{n}-(1+g)^{n}}{i-g}}.$$ Para $i=g$: $$\mathrm {VF} (A)=An(1+i)^{n-1}.$$

Tabela de fórmulas

A tabela reúne fórmulas usadas nos cálculos do valor do dinheiro no tempo. Os fatores também podem ser apresentados em tabelas numéricas para taxas de juros e prazos determinados.

Valor procurado	Dados disponíveis	Fórmula
Valor futuro $F$	Valor presente $P$	$F=P(1+i)^{n}$
Valor presente $P$	Valor futuro $F$	$P=F(1+i)^{-n}$
Pagamento periódico $A$	Valor futuro $F$	$A=F{\frac {i}{(1+i)^{n}-1}}$
Pagamento periódico $A$	Valor presente $P$	$A=P{\frac {i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}$
Valor futuro $F$	Pagamento periódico $A$	$F=A{\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}$
Valor presente $P$	Pagamento periódico $A$	$P=A{\frac {(1+i)^{n}-1}{i(1+i)^{n}}}$
Valor futuro $F$	Incremento aritmético $G$	$F=G{\frac {(1+i)^{n}-in-1}{i^{2}}}$
Valor presente $P$	Incremento aritmético $G$	$P=G{\frac {(1+i)^{n}-in-1}{i^{2}(1+i)^{n}}}$
Pagamento fixo equivalente $A$	Incremento aritmético $G$	$A=G\left[{\frac {1}{i}}-{\frac {n}{(1+i)^{n}-1}}\right]$
Valor futuro $F$	Pagamento inicial $D$ com crescimento geométrico à taxa $g$	$F=D{\frac {(1+g)^{n}-(1+i)^{n}}{g-i}}$, para $i\neq g$ $F=D{\frac {n(1+i)^{n}}{1+g}}$, para $i=g$
Valor presente $P$	Pagamento inicial $D$ com crescimento geométrico à taxa $g$	$P=D{\frac {\left({\frac {1+g}{1+i}}\right)^{n}-1}{g-i}}$, para $i\neq g$ $P=D{\frac {n}{1+g}}$, para $i=g$
Valor presente $P$	Complemento inicial $D$ de uma aposentadoria fixa $F$, com crescimento do total à taxa $g$	$P=(D+F){\frac {\left({\frac {1+g}{1+i}}\right)^{n}-1}{g-i}}-{\frac {F}{i}}\left[1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}\right]$, para $i\neq g$ e $i\neq 0$

Na tabela, as letras têm os seguintes sentidos:

• $A$ é um pagamento de valor fixo por período.
• $G$ é o acréscimo constante de uma sequência em gradiente aritmético. Nas fórmulas apresentadas, os pagamentos são zero no primeiro período, $G$ no segundo, $2G$ no terceiro, e assim por diante.
• $D$ é o primeiro pagamento de uma sequência com crescimento exponencial, ou geométrico. Cada pagamento seguinte é multiplicado por $1+g$.

As expressões com divisão por $i$ pressupõem $i\neq 0$. Quando a taxa é zero, os valores podem ser obtidos pela soma direta dos pagamentos.

Demonstrações

Anuidade

A fórmula do valor presente de uma sequência regular de pagamentos futuros, ou anuidade, pode ser obtida somando os valores futuros dos pagamentos e descontando o total. Nas expressões abaixo, $C$ é o valor de cada pagamento e $n$ é o número de períodos.

Um pagamento $C$ no instante futuro $m$ tem o seguinte valor no instante futuro $n$: $$\mathrm {VF} =C(1+i)^{n-m}.$$ Somando todos os pagamentos do instante 1 ao instante $n$, invertendo a ordem dos termos e substituindo $k=n-m$, obtém-se: $$\mathrm {VFA} =\sum _{m=1}^{n}C(1+i)^{n-m}=\sum _{k=0}^{n-1}C(1+i)^{k}.$$ Essa é uma série geométrica com termo inicial $a=C$, razão $1+i$ e $n$ termos. A fórmula da soma da série dá: $$\mathrm {VFA} ={\frac {C[1-(1+i)^{n}]}{1-(1+i)}}={\frac {C[1-(1+i)^{n}]}{-i}}.$$ O valor presente da anuidade, VPA, é obtido dividindo o valor futuro por $(1+i)^{n}$: $$\mathrm {VPA} ={\frac {\mathrm {VFA} }{(1+i)^{n}}}={\frac {C}{i}}\left[1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}\right].$$

Outra forma de obter o valor futuro de uma anuidade é considerar um fundo cujo principal permanece constante e cujos juros são pagos como uma anuidade. O capital desse fundo hipotético é a quantia que rende juros iguais ao pagamento $C$: $${\text{Principal}}\times i=C.$$ $${\text{Principal}}={\frac {C}{i}}.$$

Se o principal e os pagamentos acumulados forem considerados em conjunto, sem entradas ou saídas de dinheiro, o valor futuro do total pode ser calculado pela fórmula da capitalização: $$\mathrm {VF} =\mathrm {VP} (1+i)^{n}.$$ Antes de qualquer pagamento, o valor presente do conjunto é apenas o principal do fundo, $\mathrm {VP} =C/i$. Ao fim do prazo, o valor futuro é a soma desse principal, que não mudou, com o valor acumulado dos pagamentos da anuidade, $\mathrm {VF} =C/i+\mathrm {VFA}$. Substituindo esses valores na equação: $${\frac {C}{i}}+\mathrm {VFA} ={\frac {C}{i}}(1+i)^{n}.$$ $$\mathrm {VFA} ={\frac {C}{i}}\left[(1+i)^{n}-1\right].$$

Anuidade crescente e aposentadoria de valor fixo

Nesta demonstração, $C$ é o complemento do primeiro período, $F$ é o benefício fixo e $g$ é a taxa anual de crescimento do total $C+F$. O cálculo combina a capitalização de pagamentos com a soma de uma série geométrica.

A igualdade pode ser lida como uma relação entre um credor e um devedor. O lado esquerdo contém o valor que o credor teria se mantivesse o dinheiro aplicado. O lado direito contém o valor dos pagamentos do devedor, levados à mesma data.

Ao fim de um empréstimo de um ano, uma aplicação de $\mathrm {VP}$ teria crescido pelo fator $1+i$, chegando a $\mathrm {VP} (1+i)$. O devedor precisaria fazer um pagamento $C$ com esse mesmo valor: $$n=1:\quad \mathrm {VP} (1+i)=(C+F)-F.$$

Ao fim de um empréstimo de dois anos, a aplicação teria crescido novamente pelo fator $1+i$, chegando a $\mathrm {VP} (1+i)^{2}$. Nesse caso, o devedor faria dois pagamentos. O primeiro, $(C+F)-F$, renderia juros durante o segundo ano. No segundo pagamento, o total $C+F$ cresceria pelo fator $1+g$, enquanto o benefício fixo $F$ seria o mesmo: $${\begin{aligned}n=2:\quad \mathrm {VP} (1+i)^{2}={}&(C+F)(1+i)-F(1+i)\\&+(C+F)(1+g)-F.\end{aligned}}$$

Ao fim de três anos, a aplicação chegaria a $\mathrm {VP} (1+i)^{3}$. O devedor faria três pagamentos. Os dois primeiros renderiam juros por mais um ano, e o total usado para calcular o terceiro pagamento cresceria novamente pelo fator $1+g$. O benefício fixo permaneceria igual a $F$: $${\begin{aligned}n=3:\quad \mathrm {VP} (1+i)^{3}={}&(C+F)(1+i)^{2}-F(1+i)^{2}\\&+(C+F)(1+g)(1+i)-F(1+i)\\&+(C+F)(1+g)^{2}-F.\end{aligned}}$$

Para simplificar o caso de três anos e generalizá-lo para $n$ anos, agrupam-se os termos com $C+F$ e os termos com $F$: $${\begin{aligned}\mathrm {VP} (1+i)^{3}={}&(C+F)(1+g)^{2}\left[\left({\frac {1+i}{1+g}}\right)^{2}+{\frac {1+i}{1+g}}+1\right]\\&-F\left[(1+i)^{2}+(1+i)+1\right].\end{aligned}}$$

Em notação de somatório, a expressão é $${\begin{aligned}\mathrm {VP} (1+i)^{3}={}&(C+F)(1+g)^{2}\sum _{k=0}^{2}\left({\frac {1+i}{1+g}}\right)^{k}\\&-F\sum _{k=0}^{2}(1+i)^{k}.\end{aligned}}$$ Aplicando a fórmula da série geométrica, $\sum _{k=0}^{n}r^{k}=(r^{n+1}-1)/(r-1)$, para $r\neq 1$, obtém-se: $${\begin{aligned}\mathrm {VP} (1+i)^{3}={}&(C+F)(1+g)^{2}\left[{\frac {\left({\frac {1+i}{1+g}}\right)^{3}-1}{{\frac {1+i}{1+g}}-1}}\right]\\&-F\left[{\frac {(1+i)^{3}-1}{(1+i)-1}}\right].\end{aligned}}$$

Multiplicando o numerador e o denominador da primeira fração por $1+g$ e simplificando o denominador da segunda: $${\begin{aligned}\mathrm {VP} (1+i)^{3}={}&(C+F)(1+g)^{3}\left[{\frac {\left({\frac {1+i}{1+g}}\right)^{3}-1}{1+i-(1+g)}}\right]\\&-F\left[{\frac {(1+i)^{3}-1}{i}}\right].\end{aligned}}$$

Distribuindo o fator $(1+g)^{3}$ pelos termos do numerador da primeira fração: $${\begin{aligned}\mathrm {VP} (1+i)^{3}={}&(C+F)\left[{\frac {(1+i)^{3}-(1+g)^{3}}{i-g}}\right]\\&-F\left[{\frac {(1+i)^{3}-1}{i}}\right].\end{aligned}}$$

Dividindo os dois lados por $(1+i)^{3}$ e substituindo o expoente 3 por $n$, chega-se à expressão geral, para $i\neq g$ e $i\neq 0$: $$\mathrm {VP} ={\frac {C+F}{i-g}}\left[1-\left({\frac {1+g}{1+i}}\right)^{n}\right]-{\frac {F}{i}}\left[1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}\right].$$

Perpetuidade

A fórmula da perpetuidade pode ser obtida a partir da fórmula da anuidade. Para $i>0$, o termo $$1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}$$ se aproxima de 1 à medida que $n$ aumenta. Seu limite, quando $n\to \infty$, é 1, e o valor presente se reduz a $C/i$.

Capitalização contínua

As taxas de juros podem ser convertidas em taxas equivalentes de capitalização contínua, que tornam algumas operações matemáticas mais simples, como a diferenciação. As fórmulas anteriores podem ser reescritas com essas taxas. Por exemplo, o valor presente, no instante zero, de um pagamento no instante futuro $t$ é dado por $$\mathrm {VP} =\mathrm {VF} e^{-rt},$$ em que $e$ é a base do logaritmo natural e $r$ é a taxa de juros com capitalização contínua.

O cálculo pode ser estendido a taxas que mudam com o tempo. Nesse caso, a constante $r$ dá lugar à função $r(t)$. O fator de desconto de um fluxo de caixa no instante $T$ depende da integral dessa taxa entre o instante zero e a data do pagamento: $$\mathrm {VP} =\mathrm {VF} \exp \left(-\int _{0}^{T}r(t)\,dt\right).$$

A capitalização contínua facilita a análise de taxas de desconto variáveis e o uso do cálculo diferencial e integral. Ela também fornece uma aproximação da capitalização diária, na qual os juros são incorporados ao saldo a cada dia. Uma análise mais detalhada pode empregar equações diferenciais.

Exemplos

Com capitalização contínua, os valores presentes dos pagamentos periódicos podem ser escritos como nas fórmulas abaixo. Nas sequências crescentes, $g$ também é uma taxa contínua, de modo que o fator de crescimento de um período para o seguinte é $e^{g}$.

Para uma anuidade: $$\mathrm {VP} ={\frac {A(1-e^{-rt})}{e^{r}-1}}.$$ Para uma perpetuidade, com $r>0$: $$\mathrm {VP} ={\frac {A}{e^{r}-1}}.$$ Para uma anuidade crescente, com $r\neq g$: $$\mathrm {VP} ={\frac {Ae^{-g}(1-e^{-(r-g)t})}{e^{r-g}-1}}.$$ Para uma perpetuidade crescente, com $r>g$: $$\mathrm {VP} ={\frac {Ae^{-g}}{e^{r-g}-1}}.$$ Para uma anuidade com pagamentos contínuos à razão de uma unidade monetária por unidade de tempo: $$\mathrm {VP} ={\frac {1-e^{-rt}}{r}}.$$

Nas fórmulas de pagamentos periódicos, $A$ é o primeiro pagamento, feito ao fim do primeiro período. As anuidades finitas terminam no instante $t$. A última expressão corresponde a um fluxo contínuo e resulta da integração do fator de desconto durante esse intervalo.

Equações diferenciais

As equações diferenciais ordinárias, ou EDOs, envolvem derivadas em relação a uma variável independente. As equações diferenciais parciais, ou EDPs, envolvem derivadas parciais em relação a mais de uma variável independente. Esses tipos de equação diferencial são usados em formulações mais avançadas da matemática financeira. O valor do dinheiro no tempo pode ser estudado sem esse recurso, mas a formulação diferencial permite examinar como o valor muda e introduz métodos usados em outros problemas financeiros.

Nessa formulação, o resultado procurado deixa de ser apenas um número, o valor presente na data da avaliação, e passa a ser uma função que dá o valor do ativo em cada instante. É possível analisar a evolução dessa função ou compará-la com outras funções.

O desconto e a variação do valor no tempo podem ser expressos pelo operador diferencial linear ${\mathcal {L}}$: $${\mathcal {L}}:=-\partial _{t}+r(t).$$ O termo $-\partial _{t}$ contém a derivada temporal com sinal negativo, e $r(t)$ é a taxa de desconto. Aplicado a uma função $f$, o operador dá $${\mathcal {L}}f=-\partial _{t}f(t)+r(t)f(t).$$ Para um instrumento com fluxo de pagamentos $f(t)$, seu valor $V(t)$ satisfaz a EDO linear não homogênea de primeira ordem ${\mathcal {L}}V=f$. A equação é não homogênea porque seu lado direito é o fluxo $f$, em vez de zero. É de primeira ordem porque contém apenas a primeira derivada. A equação reúne a remuneração do valor à taxa $r(t)$ e a redução causada pelos pagamentos. Se o titular recebe um cupom de 10 libras, o valor restante do instrumento cai exatamente 10 libras no instante do pagamento.

As funções de Green permitem construir soluções de equações diferenciais a partir de uma resposta elementar. No cálculo do valor do dinheiro no tempo, essa resposta é o valor de um título que paga uma libra em um único instante $u$. Outros fluxos de caixa podem ser avaliados combinando pagamentos desse tipo. Matematicamente, o pagamento instantâneo é expresso pela delta de Dirac: $$\delta _{u}(t):=\delta (t-u).$$

A função de Green que dá, no instante $t$, o valor de um pagamento de uma libra no instante $u$ é $$b(t;u):=H(u-t)\exp \left(-\int _{t}^{u}r(v)\,dv\right),$$ em que $H$ é a função de Heaviside. Na notação $b(t;u)$, o ponto e vírgula distingue $u$, um parâmetro fixo que dá a data do pagamento, de $t$, a variável temporal. Os pagamentos futuros são descontados exponencialmente pela integral das taxas de desconto entre $t$ e $u$. Os pagamentos passados têm valor restante igual a zero, pois já ocorreram: $$H(u-t)={\begin{cases}1,&t<u,\\0,&t>u.\end{cases}}$$

No instante exato do pagamento, a função é descontínua. É possível adotar uma convenção, tomando o valor imediatamente anterior ou imediatamente posterior ao pagamento, ou deixar a função sem definição nesse ponto.

Se a taxa de desconto for constante, $r(v)\equiv r$, a expressão se simplifica para $$b(t;u)=H(u-t)e^{-(u-t)r}={\begin{cases}e^{-(u-t)r},&t<u,\\0,&t>u,\end{cases}}$$ em que $u-t$ é o tempo que falta até o pagamento.

Para um fluxo de caixa $f(u)$ que termina até o instante $T$, o valor no instante $t$ é a combinação dos valores de cada pagamento. Se não houver um prazo final, pode-se tomar $T=+\infty$, desde que a integral convirja: $$V(t;T)=\int _{t}^{T}f(u)b(t;u)\,du.$$ Essa expressão formaliza a avaliação de fluxos futuros com taxas de desconto variáveis. O mesmo procedimento de desconto é usado em modelos da matemática financeira, como o de Black-Scholes com taxas de juros determinísticas que variam no tempo.

Ver também

• Fluxos de caixa descontados, método de avaliação que traz os pagamentos futuros para uma mesma data.
• Taxa interna de retorno, taxa que torna nulo o valor presente líquido de um investimento.
• Engenharia económica, aplicação da equivalência financeira à comparação de projetos.
• Crescimento exponencial, forma matemática do crescimento de um capital a uma taxa composta constante.

Bibliografia

• Crosson, Susan V.; Needles, Belverd E. (2008). Managerial Accounting (em inglês) 8 ed. Boston: Houghton Mifflin Company 

Ligações externas

• Time Value of Money, livro eletrônico em inglês.
• Apresentação em áudio de Bjorn Flesaker, em inglês.
• Robust Replication of Default Contingent Claims, artigo de Peter Carr e Bjorn Flesaker, em inglês.